Довжини трьох відрізків 5 см, 6 см і 10 см здаються безневинними числами, але вони приховують таємницю: з них неможливо скласти замкнуту трикутну фігуру. Секрет криється в простій, але потужній умові – нерівності трикутника. Якщо сума будь-яких двох сторін перевищує довжину третьої, трикутник існує, інакше точки просто розтягнуться в пряму лінію. Ця перевірка працює миттєво і лежить в основі всього, від шкільних задач до мостів через океани.
Уявіть майстра, який з’єднує рейки на залізниці: якщо дві короткі не перекриють довгу, шлях перетвориться на розрив. Саме нерівність трикутника стає охоронцем форми, гарантуючи, що сторони зійдуться в гострі кути, а не розсиплються. Для сторін a, b, c умова звучить так: a + b > c, a + c > b, b + c > a. Порушення хоч однієї – і прощавайся з трикутником.
Ця теорема не просто правило – вона пульсує в серці евклідової геометрії, де прямі лінії найкоротші шляхи. Тепер зануримося глибше, розбираючи кожен шматочок пазла з прикладами, доказами та реальними історіями.
Формулювання нерівності трикутника: серце умови існування
Нерівність трикутника стверджує, що в будь-якому трикутнику кожна сторона менша за суму двох інших. Тобто для сторін a ≤ b ≤ c (сортуємо для зручності) ключова перевірка – a + b > c, бо інші дві автоматично виконуються. Рівність a + b = c веде до виродженого випадку, коли фігура сплющується в лінію без площі.
Чому це так? Бо найкоротший шлях між двома точками – пряма. Якщо витягнути одну сторону, шлях через дві інші стає довшим. Геометри візуалізують це, розкладаючи сторону на проекції: довга сторона не може перевищити суму сегментів, інакше кути не складуться.
У строгий формі нерівність пишеться з <, для справжніх трикутників з площею. Слабка версія допускає = для дегенеративних фігур. Ця відмінність критична в комп’ютерній графіці, де моделі не повинні “згинатися” неправильно.
Покрокова перевірка: чи існує ваш трикутник?
Щоб визначити існування, завжди сортуйте сторони за зростанням: нехай a ≤ b ≤ c. Тоді достатньо перевірити лише a + b > c – решта слідує логічно. Додайте позитивність довжин, бо нуль чи від’ємне – нісенітниця в геометрії.
Ось алгоритм у дії. Спочатку візьміть конкретні числа, помножте на реальність: інженер планує ферму моста з прутками 7 м, 8 м, 14 м. 7 + 8 = 15 > 14? Так, ледь-ледь, але трикутник існує, хоч і плаский майже.
- Виміряйте або запишіть довжини a, b, c.
- Перевірте a + b > c, a + c > b, b + c > a (або спрощено для відсортованих).
- Якщо всі істинні – трикутник можливий, площу можна обчислити за Героном.
- Якщо ні – точки колінеарні, фігура вироджена.
Після перевірки подумайте про тип: якщо a + b наближається до c, трикутник гострий чи тупий? Теорема косинусів допоможе: кос γ = (a² + b² – c²)/(2ab), де від’ємне – тупий кут.
| Сторони a, b, c (см) | Перевірка a+b>c | Інші перевірки | Існує? | Коментар |
|---|---|---|---|---|
| 3, 4, 5 | 3+4=7>5 | Так | Так | Прямокутний класичний |
| 5, 6, 10 | 5+6=11>10 | 5+10>6, 6+10>5 | Ні | 11>10 так, але чекай: 5+6=11>10 так, але насправді 5+6>10? 11>10 так, але для точності – існує, але перевірте площу: близький до виродженого. |
| 1, 1, 3 | 1+1=2<3 | Ні | Ні | Розпадається |
| 9, 10, 11 | 9+10=19>11 | Так | Так | Різносторонній |
| 4, 4, 8 | 4+4=8=8 | Рівність | Вироджений | Пряма лінія |
Дані з uk.wikipedia.org. Таблиця показує, як малі відмінності змінюють все: від ідеального 3-4-5 до провалу. У практиці додайте похибку вимірів – плюс-мінус 0.1 см рятує проекти.
Доказ нерівності: від Евкліда до векторів
Евклід у “Началах” (близько 300 р. до н.е.) довів це аксіоматично: найкоротший шлях – пряма, тому c ≤ a + b. Розгорніть сторону BC на AB + шлях від B до C вздовж AB – це довше, ніж пряма BC.
Сучасний доказ через площу: за Героном S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]. Якщо a + b ≤ c, то p – c = (a + b – c)/2 ≤ 0, площа уявна – неможливо. Векторний варіант: ||u + v|| ≤ ||u|| + ||v|| з норми, бо √((u+v)·(u+v)) = √(||u||² + ||v||² + 2u·v) ≤ √(||u||² + ||v||² + 2||u||||v||) = ||u|| + ||v||.
Ці методи перетинаються в машинному навчанні, де евклідова відстань перевіряє кластери даних. Доказ не просто абстракція – він витримує тисячоліття.
Вироджені трикутники: межа між формою і лінією
Коли a + b = c, трикутник “вироджується”: площа нуль, кути 0° або 180°. Уявіть нитку, натягнуту між стовпами – це границя. У графіці це попереджає “зламану” модель.
Обернена нерівність додає нижню межу: |a – b| < c < a + b. Для рівнобедреного з a=b, основа між 0 і 2a. Ці межі визначають спектр можливих форм, від гострокутних до тупих.
Типи трикутників і роль нерівності
Рівносторонній: a=a=a, нерівність тривіальна (2a > a). Рівнобедрений: дві рівні, основа < 2a. Різносторонній: найскладніший для перевірки. Нерівність пов’язана з кутами: найбільша сторона навпроти найбільшого кута.
У гострокутному всі перевірки з запасом, у тупокутному – ледь. Піфагор доповнює: в прямокутному a² + b² = c², де нерівність стає рівністю в проекціях.
Типові помилки при перевірці існування трикутника
- Перевірка лише двох сум: Забувають третю – для 1,5,5: 1+5>5 ок, 1+5>5 ок, але 5+5>1 тривіально, існує.
- Ігнор сортування: Для 10,3,4 думають 3+4<10 – ні, бо не відсортовані; 3+4=7<10, так ні.
- Допуск рівності: 2+2=4 – вироджений, не трикутник з площею.
- Нульові сторони: 0,3,4 – безглуздо, бо відстань >0.
- Площа без перевірки: Герон дає √ негатив – сигнал тривоги.
Найгірша пастка: Учні плутають з Піфагором, думаючи рівність завжди ок – ні, для площі потрібна строга нерівність.
Ці помилки коштують балів на ЗНО, але в житті – мостів. Практикуйте на випадкових числах, щоб інтуїція виростала гострою.
Застосування нерівності в реальному світі: від мостів до космосу
Інженери ферм перевіряють трикутні елементи: ферма Ейфелевої вежі тримається на тисячях таких перевірок. У GPS трикутники з супутників обчислюють позицію – нерівність гарантує валідні відстані.
Комп’ютерна графіка: у 3D-моделях вершини перевіряють на колінеарність, інакше анімація рветься. У мережах: найкоротший шлях у графі (алгоритм Дейкстри) спирається на неї для евклідових відстаней.
Навіть у біології: модель білків використовує для фолдингу ланцюгів. У 2025-2026 роках квантова графіка в VR розширює на неевклідові метрики, але базова нерівність лишається фундаментом.
Нерівність у просторі та неевклідових світах
У 3D для трикутників та ж умова, але для тетраедрів – об’ємні нерівності. На сфері (сферична геометрія) сума >180°, нерівність слабша: великі трикутники на Землі “випирають”. У гіперболоїді – навпаки.
У машинному навчанні евклідова норма в SVM класифікаторах спирається на неї для відстаней. Майбутнє – в AI для симуляцій, де порушення веде до артефактів.
Нерівність трикутника – не суха теорема, а живий інструмент, що формує мости, ігри та космічні траєкторії. Спробуйте самі: візьміть олівці, перевірте – і відчуйте магію геометрії в руках.
